论文摘要：一类广义血液模型的Hopf分支及两类微分方程解的渐近性

  通过对微分方程,脉冲微分方程解的存在性,局部与全局吸引性,周期性,稳定性,振动性等渐近性质的研究,人们可以更好的了解生态系统或某个种群的变化规律,预测生态系统或某个种群的发展趋势.因此,生物数学方面的研究,对保持生态平衡,保护生态环境,挽救濒临灭绝的物种具有深远的实际意义.
近年来,关于血液模型与Hopf分支,许多学者进行了大量的研究,得到了许多好的结果.然而,从分支角度进行研究的文献还比较少.本文第2章讨论了一类广义血液模型正平衡态的稳定性与局部Hopf分支,利用函数的单调性,分支理论及周期函数正交性等方法得到了该模型正平衡态存在唯一的充要条件,分支周期解存在条件和近似表达式,举出实例且运用Matlab绘出了血液模型数值解的拟合图,并分析了参数对周期解的周期,振幅及正平衡态的影响.
脉冲微分方程的理论研究,为研究物理,生物及经济等诸多方面的过程和现象,提供了更贴切的数学模型.在研究数学模型的过程中,将脉冲微分方程与微分方程相结合,将时滞微分方程与常微分方程相结合,不仅仅是一种巧合.这些结合不但突出了数学内在联系,而且体现了实际背景.如:年复一年,周而复始,种群季节的繁衍等.关于脉冲微分方程已经有不少好的结果,但许多结论有待进一步完善,因此本文第3章讨论了解的渐近性.根据脉冲时滞微分方程与时滞微分方程及微分方程三者之间的关系,运用函数的单调性,微分中值定理及比较原理得到了系统周期解的存在与唯一性,分别给出了解的全局吸引与所有解振动的充分条件.
现实世界中,种群在发展过程中会受到各种因素的干扰.因而不仅种群的密度,甚至种群密度的增长率,也会因时间而变化.在生态数学模型研究中,正解的存在性十分重要.关于常系数线性时滞微分方程解的情况,利用特征方程已得到较好的结果.然而,关于阶数较高的,变系数,多时滞微分方程其解与相应的特征方程等的文献尚少.本文第4章讨论了三阶非自治中立型时滞微分方程的广义特征方程及其正解的存在性,运用中值理Picard逼近原理,泛函分析理论和不动点原理分别得到了非自治时滞微分方程正解存在的充要条件以及广义特征方程根与时滞微分方程正解之间的关系.

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