论文摘要：活动标架理论及其在对象识别中的应用研究

本文首先对由Fels和Olver改进的等变活动标架理论进行深入研究, 随后给出其在对象识别中的应用. 我们知道, 对于任意自由且正则的群作用, 可以通过Maurer-Cartan 的规范化方法构造活动标架, 从而得到基本的不变量. 然而, 对于不满足此条件的群作用, 文中首先将延拓的群变换作用于Jet空间, 接着用规范化方法来构造其活动标架. 同样, 可以得到其基本不变量, 而问题的关键则是如何得到高阶的微分不变量, 这就涉及到本文的核心方法---活动标架的递归构造方法, 简称递归活动标架方法. 传统方法是要计算活动标架上全微分算子, 得到不变微分算子, 再将不变微分算子作用于基本的不变量，这样重复使用不变微分算子即可获得高阶的微分不变量. 存在的问题是, 随着阶数的增加, 看似简单的经典方法的计算复杂度会迅速增大, 导致计算机代数系统(符号计算软件)无法实现对其计算, 影响了微分不变量的实际应用范围. 递归活动标架方法的提出, 不但很好的解决了这个难题, 而且突破了Irina A. Kogan提出的归纳算法需要一个切片(slice)的局限. 活动标架在计算机视觉中的一个重要应用就是对象识别. 众所周知, 对象识别是计算机视觉中一个主要目标, 而对象识别中起关键作用的是求对象特征的不变量. 在二维空间, 人们可以用边缘检测方法获取对象的轮廓曲线, 从而将对象识别的问题简化为曲线的匹配问题. 本文基于Fels-Olver 等变活动标架理论, 借助递归算法得到平面上曲线的不变量和微分不变量, 也就是曲率和曲率关于弧长参数的导数(包括关于弧长参数的所有高阶导数). 因而, 由这些微分不变量可以构造出曲线的签名曲线(signature curve), 微分不变量在刚性运动和仿射变化下是不变的. 那么, 在计算机视觉中, 签名曲线可被广泛用于对象识别, 视觉跟踪和对称检测. 此外, 在E. Cartan 的等价理论是签名曲线的基础理论的支撑下, 本文利用joint 不变量在对象识别方面的抗噪优势来对签名曲线进行数值逼近, 并用此方法给出若干欧几里得曲线和仿射曲线的微分不变签名曲线. 本文所给实例显示了基于曲线的微分不变量方法在计算机视觉领域中的有效性.

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