论文摘要：两类生物模型的共存态和定性分析

本文所研究的问题涉及两类生物动力学模型, 一类是具有~Holling Ⅲ型的捕食-食饵模型和一类具有~Holling II~型带有交叉扩散捕食- 食饵模型.主要运用非线性分析理论和非线性偏微分方程理论,特别是椭圆型方程的理论和方法, 深入讨论了模型共存解的存在性、多解性和稳定性.
 
本文通过单调方法、度理论和局部分歧理论, 研究了带有齐次Dirichlet边界条件的捕食-食饵模型$$left{egin{array}{ll}u_{t}-Delta u=u(a-u-frac{buv}{1+mu^2}), & x in Omega,   t>0,v_{t}-Delta v=v(c-v+frac{du^2}{1+mu^2}), & x in Omega, t>0, displaystyle u=v=0, & xinpartialOmega, t>0.end{array}ight.$$
通过局部分歧理论和隐函数定理研究了带有齐次Dirichlet边界条件的交叉扩散模型
$$left{egin{array}{ll}-Delta[(1+alpha v) u]=udisplaystyleleft(a-u-frac{cv}{1+mu}ight), & x in Omega, -Delta [(1+eta u) v]=vdisplaystyleleft(b-v+frac{du}{1+mu}ight), & x in Omega,  displaystyle u=v=0, & xinpartialOmega. end{array}ight.$$
本文主要内容如下:
第一章主要给出了捕食- 食饵模型和带有交叉扩散捕食- 食饵模型的生物背景和发展状况, 并给出了相关的研究成果.
第二章研究了一类基于比率依赖的~Holling Ⅲ型捕食-食饵模型.首先, 根据先验估计, 运用Leray-Schauder度理论的知识, 讨论了对应平衡态模型正解的存在性;其次, 证明了当参数~$m$~充分大时, 共存解是线性稳定的;最后, 讨论了当参数~$b$~充分小时, 根据局部分歧定理得到局部分歧解的存在性和采用度理论方法得到共存解多解性的充分条件.
第三章研究了一类具有~Holling II~型且带有交叉扩散捕食- 食饵模型.首先, 给出了解的先验估计, 运用Poincare不等式, 得到了解的不存在性条件;其次, 通过局部分歧定理, 讨论了半平凡解处的分歧现象并给出了分歧点附近解的结构;最后, 由隐函数定理, 给出了势函数关于参数的显性函数和函数的一些性质.

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