论文摘要：流体力学中若干KdV和NLS型方程的解析解研究

流体力学中各种非线性现象是近些年来研究的热点问题。 理论上对各种非线性现象的研究，很大一部分是通过研究与其相应的非线性发展方程的解析解来实现的。 Korteweg-de Vries(KdV)类方程和非线性Schr"odinger(NLS)类方程均是被广泛应用的非线性发展方程， KdV方程可以用来描述浅水波中的孤子， 而NLS方程则可以描述流体、等离子体和光纤通信等多个领域中的孤子或畸形波。畸形波又称为怪波，源自于海洋物理学，是指一种包含在随机波列中的波高极大的单个异常波浪，具有明显的非线性特征，而且出现很突然，持续时间短，能量集中，破坏力强，理论上畸形波被认为是孤子传播的一种极限形式，而畸形波的作用机制需要借助于调制不稳定性和畸形波解来研究；该类型的波也出现在等离子体、Bose-Einstein 凝聚态和光纤通信等领域。

本文从解析的角度研究了一个耦合KdV方程和几个NLS类方程，得到了多孤子解或高阶畸形波解，同时对孤子和畸形波的传播与相互作用做了分析。这些解不仅具有一定的理论价值，而且为试验研究提供理论参考。本文的主要内容如下：

第一章，我们介绍了流体力学中孤子和畸形波的发展现状、非线性发展方程的可积性方法和计算孤子解或畸形波解的常用方法(如： 双线性方法、Darboux变换法和广义Darboux变换法等)。

第二章， 借助于符号计算， 利用一种不同于对数变换、有理变换和双对数变换的变换公式， 我们叙述了如何将一个三耦合KdV方程转化为双线性形式，再利用参数展开的方法得到了该方程的多孤子解。 最后，借助图像对孤子传播和相互作用作了的分析。该耦合KdV方程等价于四阶谱问题所对应的Neumann系统在有限维流型上的限制；二阶谱问题相应的Neumann系统等价于KdV方程，三阶谱问题相应的Nuemann系统等价于Boussinesq方程，而KdV方程和Boussinesq 方程均可用于描述浅水波。

第三章得到了一个高阶NLS方程的多孤子解和高阶畸形波解：利用 Darboux 变换， 我们得到了此方程的多孤子解；利用广义 Darboux 变换，得到了该方程的高阶畸形波解。 借助于图像分别对孤子和畸形波的传播与相互作用作了分析。由于海洋中能量传输的非线性效应使得高阶色散项，自陡项和激发的非弹性散射等高阶项需要加入到NLS方程来描述海洋中的孤子或畸形波现象。本章分析发现：高阶NLS方程所描述的畸形波的传播与相互作用不同于NLS方程所描述的水槽试验中的畸形波。

第四章给出了NLS-Maxwell-Bloch (NSL-MB)方程所刻画的畸形波的计算过程，并对其传播与相互作用进行了分析。到目前为止，两种类型的孤子已经被发现：NLS 孤子和 MB孤子，且两类孤子共存时可由NLS-MB方程描述。本章应用广义Darboux 变换给出了NLS-MB方程的高阶畸形波解，借助于图像分析讨论了畸形波的传播与相互作用：增益和Kerr非线性参数影响影响一阶畸形波的传播方向和距离以及二阶畸形波的相互作用范围。

第五章讨论了高阶NLS-MB方程，Heisenberg铁磁链方程与MB方程构成的耦合系统，的高阶畸形波解；并对畸形波的传播与相互作用作了分析。本章讨论发现：频率影响复包络所形成畸形波的波谷数量、传播方向和类型；二阶畸形波为迎头碰撞， 作用之后的传播方向保持不变；频率影响二阶、三阶畸形波的相互作用方式。

第六章得到了一个变系数NLS-MB方程的高阶畸形波解，并对畸形波的传播与相互作用作了分析，这是由于在一些实际问题中，变系数非线性发展方程更能够描述一些物理现象。本章讨论发现：变系数NLS-MB方程畸形波的传播过程中的背景为非平面波，但二次抛物线或三次抛物线背景波均不影响畸形波的传播与相互作用。

第七章，我们总结了本论文的主要结论与创新点，指出了本文研究的局限性，并对今后的研究工作进行了展望。

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