论文摘要：Sturm-Liouville问题特征值的渐近性及其对反问题的应用

Sturm-Liouville(S-L)理论起源于对固体热传导问题数学模型的处理, 其理论广泛应用于物理学、数值方法以及各种理论科学及应用科学领域. 因此, S-L理论成为了相关学科领域学者共同关注的对象. 1946年Borg证明了已知两组谱唯一确定势函数,开创了逆谱理论研究的先河. 此后, 利用特征值来确定势函数和边界条件的思想受到了人们的广泛关注, 大量的新观点, 新方法被引入.
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本文基于微分方程基本解, 研究具有光滑势函数的S-L问题特征值和规范常数的高阶渐近式. 以此为基础, 研究了两个不同S-L问题特征值之差和规范常数之差的渐近性, 并给出, 基于S-L逆问题全纯函数的高阶估计.
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?本文主要内容安排如下:

?第一章 预备知识. 本章先给出相关S-L问题谱理论方面的概念和结论. 再给出方程解的高阶展开式.
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?第二章 S-L问题特征值的渐近式. 本章讨论具有一般边界条件和Dirichlet边界条件的S-L问题特征值和规范常数的高阶渐近式.?首先, 应用方程解的高阶展开式和边界条件, 证明了势函数

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情形下, 特征值的一阶渐近式.进而, 证明了势函数?????? 情形下, 特征值的高阶渐近式.?最后, 引入S-L问题规范常数的相关性质, 在此基础上, 结合特征值和方程解的高阶展开式, 证明了规范常数的高阶渐近式.

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?第三章 两个不同S-L问题特征值之差的渐近性. 首先, 给出方程解的高阶展开式的系数递推关系. 在此基础上, 给出S-L问题特征函数的高阶展开式.进而, 结合方程解的剩余估计, 证明了给定边界条件下, 两个不同S-L问题特征值之差的渐近性.?最后, 利用规范常数的高阶渐近式及其系数特征, 给出基于上述边界条件的两个不同S-L问题规范常数之差的渐近性.
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?第四章 ?基于S-L逆问题的全纯函数的高阶估计. 本章给出了?两个不同S-L微分方程解乘积的高阶展开式; 得到了函数f(z)的高阶展开式及其系数特征. 进而, 利用两个不同S-L问题共有谱信息得到函数f(z)的高阶展开估计并应用于S-L逆问题, 解决了Amour的公开问题.
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