论文摘要：逻辑度量空间中的仿射变换和几类特殊公式的性态研究及其应用

        计量逻辑学从基本概念的程度化入手, 系统地引入了公式的真度理论和公式间的相似度理论, 定义了公式间的伪距离, 最终建立起了逻辑度量空间(Logic Metric Space, 简称LMS)理论. 由于有了度量工具, 在LMS中就可以研究给定的逻辑理论$Gamma$的发散度和相容度问题, 可以研究各种类型的近似推理问题, 等等.
        当前LMS理论已从经典的二值命题逻辑推广到了多种n值命题逻辑之中(n>2). 值得注意的是, 作为度量空间, LMS自身结构的研究似尚未展开. 最近已见到从反射变换入手探讨经典LMS结构的研究, 虽然只是起步性的研究, 但却是一个新的开端. 本文将上述研究进行推广, 进一步研究经典LMS中的仿射变换问题, 得到了包括真度不变性和相似度不变性在内的较为系统的研究成果. 同时, 本文还将经典LMS中的反射变换理论推广到了$mathscr{L}^{*}-$Lindenbaum代数之中.
    另一方面, 由于布尔函数理论既是经典LMS中真度理论的基础, 又是密码学中常用的基本工具, 可见计量逻辑学与密码学之间存在着紧密的联系. 基于这种思想, 本文在LMS中先后引入了线性逻辑公式、对称逻辑公式和雪崩逻辑公式的概念, 并从它们在整个空间中的分布得出了各类公式稀疏程度的描述, 这又可反馈到密码学中, 使得从事密码学研究的学者对是否使用相应的函数传送密码有更全面的掌握.
        此外, 本文还将布尔函数的Shannon展开式的巧妙思想应用到了${L$ukasiewicz n值逻辑系统${L}_n$中, 给出了MaNaughton函数的表示方法, 解决了$m$元$n$值MaNaughton函数的计数问题.
        全文共分五章.
        第一章介绍了有关计量逻辑学与密码学中布尔函数的基本知识, 这些知识是阅读后续内容所必须的, 是概述性的.
        第二章首先将反射变换的概念引入到连续值逻辑系统$mathscr{L}^{*}$之中,  研究了$mathscr{L}^{*}$逻辑度量空间中反射变换的性质. 然后将仿射变换的概念引入到经典逻辑系统之中, 定义了公式集$F(S)$到$F(S)$上的仿射变换$Phi$, 证明了该仿射变换$Phi:F(S)ightarrow F(S)$ 是$F(S)$上的自同构变换. 而且公式的真度, 公式间的相似度与伪距离在仿射变换下保持不变. 在经典逻辑系统中, 反射变换是仿射变换的特殊情形, 即, 仿射变换是公式集$F(S)$到$F(S)$上的一类更广泛的变换.
        第三章基于线性布尔函数的概念, 在经典逻辑度量空间中提出了线性逻辑公式的概念, 并给出了$n$元线性逻辑公式的构造方法. 研究了反射变换下线性逻辑公式的性质,证明了所有线性逻辑公式的真度等于$frac{1}{2}$, 而全体$n$元逻辑公式的真度共有$2^n+1$种之多, 这表明线性逻辑公式在全体逻辑公式之中的分布很稀疏. 这就从计量学的角度验证了线性布尔函数的结构比较简单. 而且, 我们可以通过线性布尔函数作乘积得到一类代数次数等于$k$的布尔函数, 这类布尔函数所对应的逻辑公式的真度为$frac{1}{2^k}$, 这表明这类代数次数等于$k$的非线性布尔函数所对应的逻辑公式在全体逻辑公式之中的分布也很稀疏, 可在密码设计中使用该类布尔函数.
        第四章将符号化计算树逻辑中的Shannon展开式做了推广, 在$n$值${L}$ukasiewicz逻辑系统${L}_n$中, 研究了由逻辑公式导出的$n$值McNaughton函数的展开式, 给出了$m$元$n$值McNaughton函数的准析取范式和准合取范式. 在此基础上, 给出了$m$元$n$值McNaughton函数的计数问题.并在$n$值${L}$ukasiewicz逻辑系统${L}_n$中, 给出了$m$元逻辑公式的构造方法及其逻辑等价类的计数问题.
        在弄清楚了多值McNaughton函数的构造方法和结构之后, 我们将对称布尔函数的概念引入到多值McNaughton函数之中, 提出了对称三值McNaughton函数的概念. 在此基础上, 在三值${L}$ukasiewicz逻辑系统${L}_3$中, 提出了对称逻辑公式和准对称逻辑公式的定义. 研究了在逻辑等价意义下对称逻辑公式的性质, 比较了${L}_3$和经典逻辑系统$L$中对称逻辑公式之间的关系及其计数问题, 证明了$n$元对称逻辑公式占全体$n$元逻辑公式的比例随$n$的增大而趋向于零, 而且全体对称逻辑公式的真度之集在 $[0,1]$ 中稠密. 但是, 全体对称逻辑公式之集又是逻辑度量空间中的无处稠密集. 最后, 给出了${L}_3$中对称逻辑公式的构造方法.
        第五章将密码学中满足严格雪崩准则的布尔函数的概念引入到计量逻辑学之中,提出了雪崩逻辑公式的概念, 并研究了雪崩逻辑公式的真度及其性质.证明了雪崩逻辑公式$A$ 的真度$ au(A)$满足条件$$frac{1}{4}leq au(A)leqfrac{3}{4}.$$特别是证明了至少含有三个原子公式的雪崩逻辑公式的真度之集为$$H_1={frac{k}{2^{n-1}}|2^{n-3}leq kleq3 imes2^{n-3};n=3,4,cdots},$$或者用密码学的术语来说, $n(ngeq3)$元雪崩布尔函数的汉明重量之集为egin{center}$W(n)={omega(f(x))|2^{n-2}leqomega(f(x))leq3 imes2^{n-2}$且$omega(f(x))$为偶数$}$,end{center}这就排除了不满足此条件的$n$元布尔函数的个数计算, 从而在一定程度上简化了雪崩布尔函数的计数问题. 然后, 我们通过引入函数$xi$ 建立了$n(ngeq3)$元雪崩布尔函数个数的表达式, 并给出了不同真度的雪崩逻辑公式的构造方法. 研究了$k$阶雪崩逻辑公式与反射变换下$k$阶雪崩逻辑公式的性质. 最后, 研究了满足严格雪崩准则的布尔函数的计数问题, 得到了满足严格雪崩准则的$n$元布尔函数个数的上界和下界.

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