论文摘要：有限资源下非光滑生物系统理论与应用研究

资源短缺与不足不仅使突发性传染病以及农业病虫害大爆发或再度猖獗等预防与控制面临严峻的挑战, 也是公共卫生部门、农业生态部门高度关注的热点问题. 资源有限下对传染病以及农业害虫突然爆发的预防与控制会带来怎样的困难与挑战? 最佳的综合防控措施是什么以及如何实施? 针对这些实际问题, 结合突发性传染疾病预防和农作物病虫害治理中客观存在的资源有限现象, 论文建立了能够刻画资源有限现象的疾病与农作物病虫害综合防治的非光滑生物数学模型, 根据疾病流行与病虫害爆发的过程, 通过理论推导、数值计算来预测和评估那些使疾病根除和害虫灭绝的重要指标, 研究有限资源对传染病传播动力学和对农业害虫治理的影响, 探讨控制疾病与病虫害爆发的最佳策略, 为决策部门提供理论依据.

包括SARS、甲型H1N1、H7N9、 Ebola等突发性传染病的爆发通常与普通流行感冒等多种病毒性疾病的传播是同时并存的. 突发性传染病爆发初期, 由于病例数很少和对突发性疾病感染者的甄别没有快速、有效的手段, 以及在药品、医疗设施等储备充足的情况下, 感染不同病毒的患者能够同时在医院的不同区域得到相应的治疗. 但是随着突发性传染疾病感染者人数的不断增加以及医务人员、医疗设备、药品疫苗等资源的紧缺, 医院将会针对重症患者, 有选择性地进行治疗. 基于此, 论文首先建立了有限治疗资源下具有选择性治疗策略的Filippov非光滑阈值传染病模型. 从理论上分析了系统的滑动区域、滑线动力学、各类平衡点的存在性和边界点分支发生的条件, 同时采用数值方法研究了系统余维一的局部滑动分支及全局滑动分支, 进而分析了有限治疗资源下如何针对多种流行性疾病爆发采用选择性治疗策略, 并探讨了以根除突发性传染病为目的的最佳阈值选择方案.

考虑到突发性传染病疫苗紧缺的实际情况, 建立了具有有限疫苗资源下的脉冲SIR传染病模型, 研究了疫苗有限对传染病的传播和控制的影响, 同时也系统研究了当有限疫苗仅用在部分易感者人群中时, 有限的疫苗资源如何影响传染病根除的阈值条件. 从理论上得到了根除传染病的阈值条件, 进而采用拉丁超立方抽样和偏秩相关系数方法进行参数不确定性和敏感性分析, 分析确定系统参数对阈值的影响, 得到影响疾病根除的关键因子. 为疫苗、医疗设备等有限的情况下如何有效地实施控制策略提供了思路. 同时利用分支理论探究了地方病存在及稳定的条件, 数值结果说明了非线性脉冲使得模型的动力学行为变得更加复杂和有趣.

将影响农业资源有限的非线性因素引入到农业害虫综合治理的模型中, 考虑杀虫剂对害虫的致死率是一个具有饱和效应的非线性函数, 从而提出了具有周期控制的一般性害虫-天敌控制模型. 利用脉冲微分方程的相关理论知识、$Lambert W$函数分析了害虫灭绝周期解的存在性及稳定性, 并给出了害虫灭绝周期解局部稳定和全局稳定的阈值条件. 实际应用中采用Holling Rmnum{2}型功能反应函数为例的害虫-天敌控制模型, 进一步研究了有限资源对害虫爆发和防治策略的影响. 理论与数值结果揭示了系统动力学行为复杂性, 表明了害虫及天敌种群的初始密度严重影响害虫综合控制策略的成败, 通过资源有限对害虫爆发和防治策略影响的详细分析, 得到了一些有实际意义的生物结论.

论文研究中注重数学学科发展前沿与生物学、医学和生命科学等多学科领域的交叉与融合. 同时, 论文中提出的建模思想、发展的理论和数值分析技巧可以用来研究其它传染病模型和综合害虫治理模型, 得到的主要结论能为公共卫生部门及农业生态部门设计制定最优的防治策略提供理论依据和定量参考.

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