摘要：流体力学中几种非线性模型的解析研究

作为一种非线性现象，孤子具有丰富的力学背景。特别是在流体力学领域，大气中存在孤子、水流、等离子体和电磁流体。描述流体力学中许多问题的非线性波模型都有解析孤子解，因此非线性孤子模型解析解的研究具有一定的理论意义和应用前景。本文的主要工作包括以下几个方面：引言部分，介绍了非线性科学中孤子理论的背景，介绍了流体力学中几种常见的非线性波模型，如：Korteweg-de Vries（KdV）类模型， Boussinesq 模型。然后，介绍了几种寻找非线性模型解析解的方法，包括Painlevé分析、Hirota双线性方法和Wronski技术。第二、三、四章将上述方法综合应用于流体力学中的Boussinesq-Burgers（B-B）模型、Whitham-Broer-Kaup（WBK）模型和变系数Boussinesq模型。第二章主要是B-B模型的解析研究和交互分析。首先，通过变换得到B-B模型的双线性方程，通过小参数展开法得到其单孤子、双孤子和三孤子。然后，利用Wronski技术得到了B-B模型的多孤子解，并对解进行了验证。对孤子相互作用进行了图解分析，发现了一种新的作用机制，即弹性-非弹性共存相互作用。通过扩展 Wronski 条件，我们进一步寻求理解模型的周期解。 B-B模型可用于模拟长波在浅水中的传播、等离子体中的离子声波、一维非线性特征波、电磁波相互作用下的非线性介电横向光学声子、两个水平对流板之间的瑞利面波、非线性线性体的振动；第三章主要针对流体力学中的WBK浅水模型。首先将WBK模型通过变量变换转化为AKNS系统，然后通过构造AKNS系统的Wronski行列式解得到WBK模型的多孤子解。 WBK模型的理解和复解是利用矩阵展开法得到的。 WBK模型的解析研究可为流体力学中一些浅水波传播规律的研究提供数据支持；第四章是流体力学中的长重力水波模型变系数Boussinesq模型的解析研究和符号计算。首先，将变系数Boussinesq模型通过变量变换转化为变系数AKNS系统，找出两个模型解互变换所需要满足的约束条件。通过AKNS系统，间接构造了变系数Boussinesq模型的双Wronski行列式孤子解，并对解进行了验证。变系数Boussinesq模型的解析研究可为流体力学中长重力水波的研究提供理论支持。最后，在结语部分，对已完成的成果进行了总结，并对其流体应用前景进行了展望。

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