摘要：基于符号计算工具的变系数KdV方程解析解研究

作为一种普遍存在的非线性现象，孤子一直是众多学者关注的焦点。随着计算机技术的发展，特别是符号微积分的出现，孤子理论得到了迅速发展。其中，KdV（Korteweg-de Vries）方程是一类最早用于描述孤子现象的经典非线性演化方程。变系数KdV方程由于其系数的特性，能够更好地描述海洋中的孤立波等非线性现象。然而，如何获得方程的更多解析解是非线性演化方程应用研究过程中的一个关键问题，也是孤子理论研究的一个重要问题。本文借助符号计算工具对变系数KdV方程及其解析解进行了深入研究。论文的主要成果包括以下几个方面： 1.研究广义变系数KdV方程（简称gvcKdV方程）和贝尔多项式法的守恒定律，利用单孤子解和N孤子解探索gvcKdV 方程描述海洋中孤立波及其内部特征的能力。孤立波的传播特性。首先利用单孤子解推导出内孤波的幅值、底高和波速的物理表达式，微扰项系数、非线性项系数和外力项对内孤波的影响为通过实验分析。其次，利用N孤子解模拟了南海孤波SAR（合成孔径雷达）图，模拟结果与真实SAR图高度相似。 2. 用两种相似性约简方法研究变系数KdV方程的性质和解。首先，利用经典的李群无穷小变换研究了具有非均匀介质的变系数KdV方程。讨论了十二个变系数案例的群变换和向量场，并利用最优系统得到大量群不变解，即原方程的精确解。同时，根据所得结果，讨论了基于李变换的方程的守恒定律，给出了两种情况下的守恒向量，证明了方程具有准自伴性质。其次，利用CK直接法对上述两个变系数KdV方程进行约简求解，得到方程的新解析解。 3、使用符号计算工具Mathematica，自动实现李群变换过程中繁琐的公式定义和高重复性的计算过程。首先，构建全导数和连续无穷小公式的树形结构，通过遍历自动化得到公式结果；其次，总结李括号和伴随变换的计算规则，给出适用的算法并加以实现，从而减少繁琐且容易出错的人工计算任务，保证研究结果的正确性和可靠性。作者希望本文对内部孤立波的分析和模拟能够为海洋内部波的研究提供一定的参考价值，并希望本文得到的变系数KdV方程的解析解能够提供理论依据用于方程的实际应用。

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