免费论文：三维Ginzburg-Landau方程的动力学行为研究

整体吸引子的存在性是耗散型偏微分方程的重要特征之一。耗散型偏微分方程的动力学行为完全取决于整体吸引子的其结构和性质。因此，吸引子的研究是无穷维耗散系统研究的一个重要课题。目前，研究方法大致分为分析方法和数值方法两大类。 Ginzburg-Landau方程是一类重要的非线性耗散型偏微分方程，它具有十分丰富的物理背景和多样化的数学形式。近二十年来，许多物理学家和数学家对它的物理性质和数学理论进行了深入的研究，并取得了丰硕成果。以往的研究多局限于一维和二维空间中。由于Ginzburg-Landau方程在科学和技术的各个领域有着广泛的应用，因此在三维空间中研究它的动力学行为是非常必要的。 本文主要在三维空间中考虑复的Ginzburg-Landau型方程$$u_t-(lambda +{m i}alpha) riangle u+(kappa+{m i}eta)|u|^{2sigma} u-gamma u=0 eqno(1)$$和复的带导数条件的（广义）Ginzburg-Landau方程$$u_t-(lambda +{m i}alpha) riangle u+(kappa+{m i}eta)|u|^{2sigma} u-gamma u +lambda_1cdot(|u|^2
abla u)+lambda_2cdot(u^2
ablaoverline{u})=0 eqno(2)$$的周期初值问题。在一定的参数条件下，分别用分析方法和数值方法研究了方程的动力学性态。 本论文共分六章。 第一章简单介绍了目前动力系统理论的研究现状以及本论文的主要工作内容和研究意义。 第二章介绍了本论文研究所必须的基础知识。 第三章到第五章用分析方法研究了方程的动力学行为。在第三章中，首先用能量估计方法证明了方程整体解的存在惟一性。进而得到了整体吸引子的存在性以及Housdorff维数和分形维数的上界估计。 本章的难点是对方程(1)解$u$的一阶单范数$|
abla u|$的先验估计，原因是在一维和二维空间中成立的嵌入定理$H^6hookrightarrow L^{infty}$在三维空间中不成立。本文解决的方法是：将$|
abla u|^2$，$|u|_{L^{2sigma+2}}^{2sigma+2}$和 $| riangle u|^2$这三项的估计同时进行，这是本文的第一个创新之处。此外，通过对非线性项$(kappa+{m i}eta)|u|^{2sigma}u$和$(lambda+{m i}alpha) riangle u$作巧妙的线性组合，对非线性项$(kappa+{m i}eta)|u|^{2sigma}u$作更精细的估计，从而改善了方程(1)整体解和整体吸引子存在的参数区域，这是本文的第二个创新之处。在此基础上，第四章证明了整体吸引子的正则性。第五章证明了有限维指数吸引子的存在性。 第六章研究方程的离散动力学性态。在第二节和第三节中，对方程(1)和(2)用经典Galerkin方法构造了全离散非线性逼近格式，并证明了离散整体吸引子的存在性、收敛性和离散格式的大时间收敛性和数值稳定性。在第四节中，我们对二维立方Ginzburg-Landau方程用经典的Galerkin方法构造了全离散线性逼近格式，并证明了离散整体吸引子的存在性、收敛性以及离散格式的大时间收敛性和数值稳定性。这种线性格式比经典Galerkin方法的非线性格式和非线性Galerkin 方法的线性格式效率都高。另外，这种构造经典Galerkin方法线性格式的技巧也适用于其它的非线性偏微分方程。这是本文的第三个创新之处。

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