免费论文：非光滑动力系统的非光滑分岔研究

非光滑因素在自然界和工程领域中广泛存在，应用动力系统的理论进行统一研究具有重要的意义。非光滑系统不仅可能发生光滑系统的各种常规分岔，而且还可能发生一些光滑系统所不具备的特有分岔，统称为非光滑分岔。这类分岔对系统的动力学行为具有重要影响，并提供了更多通向混沌的路径，是非光滑动力学研究的热点和难点。本文系统总结了非光滑系统的分类，在此基础上对于非光滑分岔进行了深入细致的研究。基于流分析的方法，定义了周期轨的擦边分岔、角点分岔和滑动分岔，并介绍了两种Poincaré映射的建立方法，可以全面描述轨线的周期性质及轨线与边界之间的关系，从而对各种分岔进行识别和分析。Poincaré映射方法可以将周期轨的这些分岔与不动点的边界碰撞分岔联系起来，统一了非光滑分岔的概念。根据非光滑映射的分岔理论，基于边界两侧Jacobi矩阵的特征值可以对非光滑分岔作进一步的分类，并研究经由非光滑分岔通向混沌的路径。本文主要内容分述如下：第一章 介绍了本文的研究目的、意义及主要内容，概述了非光滑系统及非光滑分岔的发展历史和研究现状。第二章 介绍了一些相关的基本知识。首先介绍了非光滑微分系统的分类，其次简要给出了脉冲微分方程和微分包含的基本概念，接着论述了构造Poincaré映射和切换映射的一般方法，最后介绍了非光滑映射的分岔理论。第三章 研究了非光滑映射的边界碰撞分岔。首先介绍了一类带有奇异性的非光滑映射，其中不同的奇异性对应于周期轨的不同非光滑分岔。其次详细论述了非光滑映射由非光滑倍周期分岔通向混沌的路径，既可以通过非光滑的倍周期分岔直接进入混沌，也可以通过光滑倍周期和非光滑倍周期相间隔的分岔序列进入混沌，但其方式不同于常规的倍周期分岔序列。最后论述了非光滑映射中典型的加周期分岔，揭示了混沌带和周期共存对于周期运动之间转换的重要作用。第四章 研究了碰撞系统中的擦边分岔。首先介绍了两种Poincaré映射的建立方法，提出用单位周期内碰撞次数作为判别擦边分岔的指标。其次基于能量守恒定理用恢复系数将硬碰撞模型和不同的软碰撞模型联系起来。然后在一个单边碰撞系统中，发现擦边分岔可导致加周期和混沌等现象，并验证了擦边分岔判据的有效性。最后在一个双边对称碰撞系统中，发现不仅存在对称的擦边分岔，而且存在非对称的由内到外擦边分岔。第五章 研究了电路及力学系统中的角点分岔。首先研究了一个DC-DC直流变换器，发现外角点分岔不仅可引起单位周期内开关次数的变化，而且可导致从周期运动直接进入混沌；内角点分岔可引起倍周期和三周期分岔，且发生分岔后周期轨与内角点保持接触直到发生另外一个分岔。其次研究了一个有非光滑基础激励的碰撞系统，发现角点分岔可导致从周期1直接进入高周期运动，并形成无混沌的逆加周期分岔序列。第六章 研究了控制及力学系统中的滑动分岔。首先针对一个变结构控制的van der Pol系统，在光滑边界情形下研究了穿越滑动分岔、切换滑动分岔和擦边滑动分岔，发现了一类特殊的穿越滑动分岔；在非光滑边界情形下研究了滑动轨与角点之间的关系，发现了角点滑动分岔和边边滑动分岔。然后针对一个带干摩擦的Duffing系统，研究了摩擦系数和皮带驱动速度对滑动分岔的影响，发现了多滑动分岔与其他滑动分岔之间的联系。最后对于非光滑分岔的研究给出了一个简单的总结，提出了一些有待于今后继续研究的问题。

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