免费论文：流体动力学方程若干问题的研究

自二十世纪八十年代以来, 调和分析方法在线性和非线性偏微分方程的研究中已经成为重要的研究工具. 特别是基于Littlewood-Paley理论的Fourier局部化技术已经成为研究发展型方程非常有效的方法. Littlewood-Paley理论最早起源于Littlewood和Paley在20世纪三十年代的工作, 近几十年来它被系统地用来研究非线性偏微分方程. 其在这方面的主要突破是J.-M. Bony在20世纪80年代研究双曲型方程解的奇性传播时引入的仿积分解技术. 后来, Meyer把这一理论应用在不可压流体动力学方程的研究上, 并取得了一系列高水平的研究成果. 在此基础上, Chemin, Cannone,Danchin,Hmidi, 陈-苗-章等人进一步发展和完善这一理论, 并将它们应用到一些更广泛的流体动力学方程的研究中. 本文将致力于利用Littlewood-Paley理论中的经典方法:Fourier局部化理论, 交换子估计, 光滑效应, 正则性损失估计和Bony的仿积分解等技术并结合其他分析工具来研究2维具有Soret效应的流体模型, 2维Euler-Boussinesq方程, 多维可压粘性液体-气体两相模型和多维密度依赖的不可压液晶流体模型等流体动力学方程中几类常见模型解的适定性问题.本文的主要内容如下:第二章主要介绍与Littlewood-Paley理论相关的知识. 主要涉及到环与球上的二进制分解, Fourier局部化算子, 经典的Bernstein不等式和Bony的仿积分解等. 回忆了齐次和非齐次Besov空间的定义, 并列举了Besov空间的各种性质和相关的估计. 最后给出几个常用不等式.第三章主要研究2维具有Soret效应和Yudovich型初值的流体模型的柯西问题. 这个方程是一个双曲-抛物耦合系统, 是2维Euler方程和Boussinesq方程的推广模型. 首先建立光滑解的局部适定性, 并给出了一个爆破准则. 然后, 利用于Bony的仿积分解技术和正则性损失估计在没有任何小性要求的条件下获得该系统Yudovich解的整体适定性.第四章主要研究2维具有无衰减初值的Euler-Boussinesq方程的柯西问题. 由于是在L∞ 层次上处理这一问题, Leray 投影算子P 和Riesz 算子在L∞上无连续性, 所以压力项的估计产生了本质的困难. 为了克服这个困难, 主要的方法采用齐次的Littlewood-Paley分解技术, 引入了频谱层次上的函数空间, 并充分利用方程的耦合关系. 结合经典的紧性方法和正则性损失估计在无衰减初值的条件下获得2维Euler-Boussinesq方程解的整体适定性.第五章主要研究多维可压粘性液体-气体两相模型的柯西问题. 首先在初值具有较高正则性的Lp框架下的Besov空间中获得这个模型解的局部适定性. 进一步利用小扰动在加权Besov空间中是无害项的思想, 在Lp框架下的临界Besov空间中获得了局部大解的适定性. 在文中只需要初始液体质量具有正下界这个唯一的假设条件.第六章主要研究多维密度依赖的不可压液晶流体的柯西问题. 首先, 当初始密度在平衡态附近时, 在临界Besov空间中证明了局部大解的适定性. 进一步, 在小初值条件下获得解的整体适定性. 特别地, 由于初始密度场和初始速度场取值于具有不同Lebesgue可积指标的Besov 空间, 使得初始速度场u0可以取值于具有负正则指标的Besov空间, 所以容许高振荡的初始速度场的存在. 从而获得这个模型关于速度场一类大初值条件下解的整体适定性.

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