论文摘要：关于Fredholm框架与(p,Y)-算子框架的若干研究

框架理论是小波分析的重要内容. 1952年, Duffin和Schaeffer推广了Gabor的思想并且最早提出了Hilbert空间中框架的概念. 此后, 框架理论的研究引起了众多学者的广泛关注.本文引入并研究了Fredholm框架，研究了Hilbert空间中的框架的稳定性, 讨论了(p,Y)-算子框架的一些重要性质及其稳定性问题. 本文共分四章, 各章主要内容如下:
第一章, 介绍了框架理论的研究现状, 接着列出了后面章节用到的一些预备知识, 并简要说明了本文的一些主要工作.
第二章, 把Fredholm算子和框架理论相结合, 引入了Hilbert空间H的Fredholm框架这一概念, 它是一种介于框架与Riesz基之间的一类特殊框架; 运用算子论的方法, 给出了Fredholm框架的一些重要性质及其等价刻画; 基于算子的分解的理论,证明了Fredholm框架可以分解成两个正规正交基的线性组合和有限点列的并; 证明了H上的全体Fredholm框架之集构成了$H$中全体Bessel列组成的Banach空间的开集, 研究了Fredholm框架在小扰动和算子扰动下的稳定性, 证明了框架与Riesz基的膨胀不变性.
第三章, 引入了框架的几种膨胀形式, 并着重研究了框架与紧框架的膨胀,讨论了Bessel族、框架、紧框架的稳定性.
第四章, 我们研究了(p,Y)-算子框架的稳定性. 首先讨论了p-Bessel列(或p-框架)与(p,Y)-算子Bessel列(或(p,Y)-算子框架)之间的关系; 通过定义新的并, 证明了给一个(p,Y)-算子框架中添加一些点后得到的点列仍是一个(p,Y)-算子框架, 得到了一列算子复合后还是一个$(p,Y)$-算子框架的充分必要条件; 最后证明了(p,Y)-算子框架在小扰动下是稳定的.

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