论文摘要：几类具有脉冲控制的食饵-捕食者模型研究

        生物数学的发展已有近百年的历史,   它是结合生物学与数学的新兴边缘学科,   研究内容主要包括数学生态学、数理医药学、生物统计及数量遗传学等几个分支.  数学生态学是其中发展比较迅速的一个分支,  它的主要研究内容是种群生态学.  种群生态学是描述及研究种群与环境以及种群之间的相互作用关系的动力学行为的学科.  人们对自然界中种群与环境之间以及各种群之间的相互合作、竞争或捕食等关系建立数学模型,  并对模型进行理论研究, 其结果可用来描述、预测种群的发展过程,  并且还可以根据实际需要对种群系统的发展趋势进行调节控制.
        在种群动力学的早期研究中, 多利用常微分方程系统描述种群的发展变化,  然而, 除了内在变化规律外, 许多种群系统或多或少都会受到人类干预或其他外在因素的影响, 而使系统变量或增长规律发生瞬间变化.此时单纯的常微分方程很难描述这一现象,而脉冲微分方程对这类问题提供了一个自然合理的描述. 在二十世纪末, 由于实际问题研究的驱动, 脉冲微分方程发展非常迅速, 已成为一个理论基本完整并具有广泛应用前景的数学分支.  在描述及研究种群动力系统、生物资源优化管理、害虫综合控制以及基因调控网络等领域脉冲微分方程得到了广泛的应用.
        本文主要运用脉冲微分方程以及种群动力学的基本理论讨论几类具有脉冲控制的食饵-捕食者模型,  主要研究系统解的存在性、食饵灭绝周期解的稳定性以及系统的持续生存性等问题,  并利用数值分析方法模拟了一类系统的动力学行为.  这些研究结果不仅丰富了脉冲 微分方程理论, 而且可为解决农业生产和种群的生态平衡等实际问题提供决策依据.
        本文的主要研究内容和成果包括下面几个方面:
        (1) 研究了一类具有周期系数的食饵-捕食者模型的脉冲控制问题.  模型描述了害虫与其天敌的捕食关系, 为了控制害虫的增长,每隔一定时间以脉冲形式投放一定数量的天敌.  首先利用脉冲微分方程的比较定理得到了害虫灭绝周期解全局渐近稳定的充要条件, 进一步证明了当上述条件反向成立时, 系统是持续生存的, 并利用数值模拟的方法分析讨论了系统复杂的动力学行为.  由于所获得的关于害虫灭绝及系统持续生存的条件为充要条件, 为我们在实际中合理地投放天敌以控制害虫的增长提供了科学的依据.
        (2) 研究了一类在脉冲污染环境中, 食饵具有阶段结构和时滞的食饵-捕食者模型.利用模型系统的频闪映射首先得到系统所对应的离散动力系统,  进一步研究获得了食饵灭绝周期解全局吸引的充分条件, 并利用时滞微分方程理论得到了系统保持持续生存的条件.
        (3)  研究了在周期环境中一大类脉冲食饵-捕食者系统的持续生存性,数学模型由具有较一般形式的周期脉冲微分方程描述.由脉冲微分方程比较定理和一些分析技巧, 通过一系列命题和引理最终获得系统持续生存性结果的证明.  由于所研究模型具有一般性, 得到的理论结果具有普遍的适用性, 可为种群系统的生态平衡及可持续发展提供决策依据.

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