论文摘要：基于区间数理论的主成分分析方法的研究与应用

在解决许多实际问题中，经常面临的是多变量大样本数据的分析和研究，即高维数据的处理问题。由于这些数据之间难免有一些重叠的信息，所以很难抓住其主要因素，给分析过程带来了很大的困难。若单一地分析每个变量，则结果不是综合性的；若盲目地减少一些变量，则有可能损失必要的信息，造成结果不准确。因此，在进行定量分析的过程中，总是希望利用有效的信息来反映事物的特征，也就是将高维数据进行降维但又不丢失必要信息，而主成分分析正是解决这一问题的有效工具。

主成分分析是一种成熟的信息提取或数据降维的方法，它是利用线性变换方法用一组维数较低且两两不相关的变量来代替已知变量，且能够在该过程中尽可能不损失有效信息。由于线性变换不改变总方差，因此可以按方差递减的顺序将变量进行排序，依次形成主成分。这样大样本数据的分析就可以转化为对较少信息的分析，并能抓住其主要因素，使计算过程得到简化，提高效率。传统的主成分分析方法只针对实数型数据或样本，而有些样本在测量过程中产生的误差和它本身的不确定性因素导致其结果不能用纯粹的数值来表示。针对这一问题，许多专家提出了区间数的概念,并将主成分分析法推广到对区间型数据样本的主成分分析。

到目前为止，区间主成分分析方法大概可以分为三类：顶点法、中点法和中点半径法。这三种方法分别是用区间端点、中点和半径来描述区间数，进行主成分分析。但是将区间数据过早近似为实数，分析过程中一定会损失一些有效的信息，进而影响结果的准确性和可靠性。本文提出了两种改进方法，一种是基于经验统计量的主成分分析方法，将区间样本看作服从均匀分布的二元变量，通过联合密度分布得到经验描述统计量—经验协方差矩阵（经验相关矩阵），然后计算出经验协方差矩阵（经验相关矩阵）的特征值和正交化的单位特征向量，最后将特征向量通过一定的运算得到区间单位特征向量，进而得到各个主成分。另一种是基于区间矩阵运算的主成分分析方法，利用区间矩阵的运算计算出区间样本的协方差矩阵（相关矩阵），再利用Deif法计算协方差矩阵（相关矩阵）的特征值和特征向量，进而得到主成分。最后实例证明，改进后的方法在计算量方面有所降低，累计贡献率得到了提高，同时能更好地解释各个主成分，达到了预期的效果。

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