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任给2维黎曼流形(M,g)上的润滑因变量K,问能否生存与g保角的襟怀#, 使得#的高斯曲率是K.假如#,则上述题目可等价于在(M,g)上求长圆方程 # 个中#,k辨别是(M,g)的拉普拉斯算子及高斯曲率.更加地,当M为#,#时,此时方程变为: # 在#上,设K(x)是限制holder贯串因变量,且在某些点取恰巧,仍旧有作家证领会当#时,#生存一个#解,并有作家计划了此解在#边境邻近的渐近本质.在#(个中#)上,设K(x)是限制holder贯串因变量,且在某些点取恰巧,仍旧有作家证领会当#时,#生存一个#解u,正文重要计划此解在#边境(即#)邻近的渐近本质.经过符合采用g的保角襟怀#,运用#在#上的完全可积性,平行地证领会一致于紧流形上的sobolev嵌入定理,应用嵌入定理证领会过程代换后的方程解的有界性,进而获得原方程解u的渐近本质.
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